Álgebra lineal Ejemplos

$[\begin{array}{c} 7 & 5 & 0 \\ 4 & 5 & 8 \\ 0 & - 1 & 5 \end{array}]$

Paso 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Paso 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Paso 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Paso 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} |$

Paso 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} |$

Paso 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} |$

Paso 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} |$

Paso 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Paso 1.9

Add the terms together.

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$

Paso 2

Multiplica $0$ por $| \begin{array}{c} 4 & 5 \\ 0 & - 1 \end{array} |$ .

$7 | \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} | - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Paso 3

Evalúa $| \begin{array}{c} 5 & 8 \\ - 1 & 5 \end{array} |$ .

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Paso 3.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$7 (5 \cdot 5 - (- 1 \cdot 8)) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Paso 3.2

Simplifica el determinante.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Multiplica $5$ por $5$ .

$7 (25 - (- 1 \cdot 8)) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2

Multiplica $- (- 1 \cdot 8)$ .

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Paso 3.2.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$7 (25 - - 8) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Paso 3.2.1.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 8$ .

$7 (25 + 8) - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Paso 3.2.2

Suma $25$ y $8$ .

$7 \cdot 33 - 5 | \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} | + 0$

Paso 4

Evalúa $| \begin{array}{c} 4 & 8 \\ 0 & 5 \end{array} |$ .

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Paso 4.1

El determinante de una matriz $2 \times 2$ puede obtenerse usando la fórmula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$7 \cdot 33 - 5 (4 \cdot 5 + 0 \cdot 8) + 0$

Paso 4.2

Simplifica el determinante.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$7 \cdot 33 - 5 (20 + 0 \cdot 8) + 0$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $0$ por $8$ .

$7 \cdot 33 - 5 (20 + 0) + 0$

Paso 4.2.2

Suma $20$ y $0$ .

$7 \cdot 33 - 5 \cdot 20 + 0$

Paso 5

Simplifica el determinante.

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Paso 5.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.1.1

Multiplica $7$ por $33$ .

$231 - 5 \cdot 20 + 0$

Paso 5.1.2

Multiplica $- 5$ por $20$ .

$231 - 100 + 0$

Paso 5.2

Resta $100$ de $231$ .

$131 + 0$

Paso 5.3

Suma $131$ y $0$ .

$131$